Неравенство№ 1
Феликс

Докажите, что (x1+x2+x3+x4+x5)^2 не меньше чем 4(x1*x2+x2*x3+x3*x4+x4*x5+x5*x1),
для любых положительных чисел x1, x2, x3, x4 и x5.
Профиль 

Неравенство№ 2
Willy

Чего-то я видимо недопонимаю, это задачка для второго курса на квадратичные формы. Раскрываем скобки в (x1+x2+x3+x4+x5)^2 вычитаем 4(x1*x2+x2*x3+x3*x4+x4*x5+x5*x1), получаем квадратичную форму, дальше применяем критерий Сильвестра для неотрицательной определенности, первый угловой минор матрицы, соответствующей этой форме равен 1, далее со второго по 4-й нули, а 5-й равен 16, то есть все они неотрицательны, откуда следует что форма неотрицательно определена, что и является доказательством. А в чем соль?
 
[ 13-08-09, Чтв, 13:36:38 Отредактировано: Willy ]
Профиль 

Неравенство№ 3
Феликс

Вилли

Это олимпиадная задача для школьников, которые не знают, что такое квадратичная форма и критерий Сильвестра. Ты бы ещё производные использовал для нахождения минимума функции
Профиль 

Неравенство№ 4
Willy

Сейчас ни один школьник минимум без производной не вычисляет - времена изменились. Но идею я понял, школьникам предложили просто привести квадратичную форму к сумме квадратов в новых переменных, не зная методов линейной алгебры. Или есть решение поизящнее?
Профиль 

Неравенство№ 5
Феликс

Я нашёл простое решение без замены переменных и без приведения к сумме квадратов.
Профиль 

Неравенство№ 6
Паша

Для чётного числа переменных это элементарно доказывается...
 
[ 30-08-09, Вск, 12:14:17 Отредактировано: Паша ]
Профиль 

Неравенство№ 7
Паша

Поставим на край наименьшее значение, тогда вместо 4x1x5 подставим 4x1x4 + 4x2x5 , прибавим (x1-x2+x3-x4+x5)^2 и получим бОльшее значение, которое как раз и будет равно (x1+x2+x3+x4+x5)^2
 
[ 30-08-09, Вск, 14:27:35 Отредактировано: Паша ]
Профиль 

Неравенство№ 8
Феликс

Красивое решение, Паша.

Моё решение:

((x1+x3+x5)+(x2+x4))^2 не меньше 4*(x1+x3+x5)(x2+x4), а дальше, как у тебя вначале:
4*x1*x4 + 4*x2*x5 не меньше чем 4*x1*x5
Профиль 


Вы не зарегистрированы либо не вошли в портал!!!
Регистрация или вход в портал - в главном меню.



 Просмотров:   004220    Постингов:   000008