Cool Folders ® :: Форум Игротека :: Задача о раскрашенной плоскости

Задача о раскрашенной плоскости

Автор: Большой Грызь
Дата : 10-01-05, Пнд, 03:58:37

Есть плоскость. Естественно, бесконечная.
Каждая точка плоскости окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет.
Докажите, что какое бы число Х (разумеется, действительное) мы не взяли, всегда можно найти на плоскости две точки одинакового цвета, расстояние между которыми равно Х.

Сия задачка простая

Но есть продолжение

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

Задача о раскрашенной плоскости

№ 2

Автор: Гримнир
Дата : 10-01-05, Пнд, 05:02:25

Рисуем окружность радиуса Х вокруг произвольной точки. Если на окружности есть точка. цвет которой такой же, как и цвет центра - мы рады, если нет, то все точки на окружности одного цвета и есть пара (бесконечное количество пар) таких, расстояние между которыми Х - мы все еще рады.

Пока не сложно, давай продолжение

Задача о раскрашенной плоскости

№ 3

Автор: Большой Грызь
Дата : 10-01-05, Пнд, 05:21:31

Ну, собственно, начало действительно несложно

А продолжение - точки раскрашены в один из трёх цветов (например, красный, зеленый и синий). Доказать тоже самое.

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

Задача о раскрашенной плоскости

№ 4

Автор: Урод и мразь
Дата : 10-01-05, Пнд, 17:54:16

Я решил. Решение в пейджере.

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.

Задача о раскрашенной плоскости

№ 5

Автор: Большой Грызь
Дата : 11-01-05, Втр, 00:35:26

Таки решил

молодец

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

Задача о раскрашенной плоскости

№ 6

Автор: Урод и мразь
Дата : 11-01-05, Втр, 09:44:11

А сколько нужно цветов, чтобы утверждение не выполнялось?

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.

Задача о раскрашенной плоскости

№ 7

Автор: Большой Грызь
Дата : 11-01-05, Втр, 09:48:00

Мы как раз сию задачу решаем. Пытаемся доказать для 4.
Ибо, если доказать для некоторого N, то это будет верно и для N+1, и для N+2 и для всех остальных бОльших чисел. Доказывается это утверждение просто - если верно для некоторого для некоторого N, то пририсуем где-нибудь одну точку N+1-ого цвета и все дела.

Так что пытаемся найти раскраску для 4, при которой утверждение не выполняется..

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

Задача о раскрашенной плоскости

№ 8

Автор: Урод и мразь
Дата : 11-01-05, Втр, 10:42:17

Для 9 цветов можно разделить на квадратики размером больше 0.5, но меньше SQRT(2)/2 и раскрасить так:

123123123123
456456456456
789789789789
123123123123
456456456456
789789789789
123123123123
456456456456
789789789789

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.

Задача о раскрашенной плоскости

№ 9

Автор: Паша
Дата : 13-01-05, Чтв, 15:53:35

Занятная задачка(про три цвета). Надо только заметить, что на концах отрезка в корень из трёх всегда одинаковые цвета... Есть другие решения?

Задача о раскрашенной плоскости

№ 10

Автор: Большой Грызь
Дата : 13-01-05, Чтв, 16:07:29

Честно говоря не знаю других решений

Три человека, которые дали решение, решили ее именно так

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

Задача о раскрашенной плоскости

№ 11

Автор: Паша
Дата : 14-01-05, Птн, 00:35:03

В любом случае всё начинается с треугольника, когда две вершины точно определяют цвет третей. Так что случай с четырьмя цветами смотрится тяжеловато...

Задача о раскрашенной плоскости

№ 12

Автор: Урод и мразь
Дата : 29-01-05, Сбт, 18:50:40

Мне тут пишут, что и 7 цветов достаточно.

Строим раскраску 7 цветами (рисовать не буду).
Рассмотрим кластер из шестигранных сот, состоящий из центральной соты и 6 соседних. Эти 7 сот кластера раскрашиваем 7 разными цветами. Теперь замостим плоскость такими кластерами (все кластеры ориентированы одинаково, т.е. без вращения).

В получившейся раскраске плоскости нет 2 одинаковых точек на расстоянии 1 при sqrt(7)/7 < s < 1/2, где s - сторона соты.

В общем, 7 цветов хватит, а 3 мало. Остаётся узнать, что будет для 4,5,6.

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.

Задача о раскрашенной плоскости

№ 13

Автор: Урод и мразь
Дата : 31-01-05, Пнд, 06:08:02

Для 4,5,6 цветов - известная в математике нерешённая проблема.

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.
[ 31-01-05, Mon, 13:21:57 Отредактировано: Урод и мразь ]

Задача о раскрашенной плоскости

№ 14

Автор: Krasnaja Shapka
Дата : 18-05-05, Срд, 04:51:15

у меня другое решение... может оно и перекликается с вашим отрезком в корень их трех, но не знаю...

так вот: вокруг синей точки окружность радиуса х раскрашена в красные и зеленые цвета, тогда круг радиуса х*корень(3) - весь синий (см. рис.

) => все ок.

Если ясность вашего объяснения исключает ложное толкование, все равно кто-то поймет вас неправильно.

Задача о раскрашенной плоскости

№ 15

Frost

Дата : 01-11-05, Втр, 05:44:00

Вчера я нашел возможную раскраску плоскости для 6 цветов.
: