Cool Folders ® :: Форум Игротека :: Задачки об объемах

Задачки об объемах

Автор: Willy
Дата : 16-12-02, Пнд, 03:34:57

Поскольку тут начались уже задачки по алгоритмам и програмированию, вот две задачки вспомнились по высшей математике (естественно обе решаются в две строчки):

1)Найти объем тора с внутренним и внешним радиусами R1 и R2.

2)Первая задача совсем простая, а вот посложнее:найти объем n-мерного шара единичного радиуса. К чему стремится этот объем при очень больших n? Для простоты считайте, что n = 2N, т. е. n - четное, хотя это не принципиально.

Задачки об объемах

№ 2

Автор: dU
Дата : 16-12-02, Пнд, 07:16:13

Гы-гы!
Тут интегральчик пригодился бы-п. n raz

__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...

Задачки об объемах

№ 3

Автор: Паша
Дата : 16-12-02, Пнд, 07:29:15

Первая действительно простая. Если я правильно понял, что такое тор, то:
п*п*(R2+R1)*(R2-R1)*(R2-R1)/4

Задачки об объемах

№ 4

Автор: Willy
Дата : 16-12-02, Пнд, 09:35:19

Паша, ну про тор я не сомневался что ты решишь, но вторая нетривиальна.

Задачки об объемах

№ 5

Автор: dU
Дата : 17-12-02, Втр, 06:20:46

Willy:
Вторая?! По мне, так первую решить труднее. Там пределы интеграции посложней будут, а во второй, так вообще, думать нечего - интегрируй в лоб

__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...

Задачки об объемах

№ 6

Автор: Большой Грызь
Дата : 17-12-02, Втр, 07:10:34

Хм.. зачем в первой интегрировать? помножить площадь сечения на длину окружности - оси тора. Разве не выйдет объем?

--------------------------------------------------------
All things good to know are difficult to learn.

Задачки об объемах

№ 7

Автор: Willy
Дата : 17-12-02, Втр, 10:16:37

Правильно Грызь есть теорема об объеме тела вращения, согласно которой этот объем равен произведению площади на длину окружности проходимой центром тяжести сечения.

dU, во второй интегрирование есть, но оно простое и ради бога не вздумай интегрировать по углам - в n-измерениях замучишься. Если бы задачка была тупой я бы ее не давал.

Задачки об объемах

№ 8

Автор: dU
Дата : 17-12-02, Втр, 10:41:12

Willy:
Можно и в сферических координатах, но тут опыт нужен, как эти углы изменяются

В прямых, действительно, проще.

Кстати, анекдот вспомнил:
- Что такое полярный медведь?
- То же самое, что и прямоугольный, но в других координатах!

__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...

Задачки об объемах

№ 9

Автор: Willy
Дата : 17-12-02, Втр, 10:42:57

Желательно использовать все же сферическую симметрию задачи

Задачки об объемах

№ 10

Автор: Паша
Дата : 18-12-02, Срд, 06:52:34

Там получается произведение интегралов от степеней косинуса от 1 до К+1(в пределах от 0 до п/2), умножемое на 2^К.
А интегралы от степеней косинуса сами считайте...

Задачки об объемах

№ 11

Автор: Willy
Дата : 18-12-02, Срд, 08:59:56

Нет Паша, там простейшая формула в ответе, особенно в случае, когда n - четно. В лоб эту задачку решить сложно.

Задачки об объемах

№ 12

Автор: Willy
Дата : 18-12-02, Срд, 09:39:13

Абсолютно очевидно, что по аналогии с 2- и 3-мерным случаем в n-измерениях

V = Integral(from 0 to 1)[C*R^(n-1)*dR]=C/n,

где постоянная C (зависящая от n) как раз и получается из интегрирования по углам, например для n=2, C=2*pi, a для n=3 C=4*pi. Ваша задача найти C для n измерений и это делается просто, хотя и хитро.

Задачки об объемах

№ 13

Автор: Паша
Дата : 18-12-02, Срд, 15:32:18

Это вместо объёма ты предлагаешь нам искать площадь его поверхности...

Задачки об объемах

№ 14

Автор: Willy
Дата : 19-12-02, Чтв, 03:13:00

Ну примерно так, площадь сферического пояска.

Задачки об объемах

№ 15

Автор: Willy
Дата : 25-12-02, Срд, 07:25:02

Обидно мне, что задачку никто не решил, больно уж симпатичная. А почему бы не попробовать для поиска C(см. мой предыдущий постинг) использовать интеграл вероятностей?

Задачки об объемах

№ 16

Автор: Паша
Дата : 25-12-02, Срд, 17:18:50

Вилли, ты хорошо подумал, о чём спросил? Ты это предлагаешь нам пойти за справочником и повспоминать, что такое интеграл вероятностей? Неужели нет достаточного количества интересных задачек, в которых хватило бы школьных знаний?
Тем более, что мы уже выяснили, что твоё С, это площадь поверхности, которая к тому же легко находится, если знать площадь узкого пояска на поверхности. Дальше меня обломало продвигаться, так как и уже полученное продвижение перевалило через любимые мною "две строчки".

Задачки об объемах

№ 17

Автор: Willy
Дата : 26-12-02, Чтв, 07:25:56

Ну Паша, у каждого свой вкус, и для меня лично проще вспомнить свойства интегралов, чем геометрию, которую я давно забыл. А интеграл вероятностей штука весьма простая - это интеграл от exp(-x^2)(назван в честь гауссового распределения вероятностей) и если брать его от минус до плюс бесконечности, то получается корень из "пи" (кстати получить это тоже можно весьма просто и красиво - в одну строчку). Нахождение постоянной C занимает ровно полторы строчки (особенно для четного n), итого в дополнение к одной строчке, написанной мною получаем две с половиной строки.

Кстати и ответ у задачки красивый и простой, особенно при n стремящемся к бесконечности, что явилось одной из причин почему я ee запомнил с институтских времен.

Задачки об объемах

№ 18

Автор: dU
Дата : 29-12-02, Вск, 08:44:36

Ну, блин, Willy, у тебя и задачка

А казалась простой (просто привык уже, что все многомерные интегралы по коробкам, а не по шарикам)...

Там такое... Короче, формулы разные для четного и нечетного количества измерений (до четного почти сам допер). А в пределе бесконечности, кажется Гамма (ну куда еще факториалу дется???)

__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...

Задачки об объемах

№ 19

Автор: Willy
Дата : 29-12-02, Вск, 11:54:35

dU, давай не будем обсуждать случай нечетного n, где получается гамма-функция (я сразу сказал решать для четного), в случае четного n она естественно сводится к факториалу, который однако можно легко получить и без знания гамма-функций, но дай же ответ! Он простейший и получается в две строки. А в пределе больших n получается число, но какое?

Задачки об объемах

№ 20

Автор: Willy
Дата : 30-12-02, Пнд, 06:07:47

Ладно вот решение:

Integral(from - inf to +inf){exp(-x1^2 - x2^2-...-xn^2)}dx1*...dxn= (pi)^n/2=Integral(from 0 to inf){exp(-R^2)CR^(n-1)}dR,

замена y=R^2 в последнем интеграле дает

(C/2)*Integral(0 to inf){exp(-y)*y^(n/2-1)}dy =(C/2)*(N-1)!, где N=n/2 (n- четно), последнее выражение очевидно получается многократным интегрированием по частям. Следовательно C = 2*(pi)^N/(N-1)!, а объем (см. мой постинг от 18-12-02, Wed, 16:39:13 )

V=C/2N= pi^N/N!. Любопытно, что при N стремящемся к бесконечности объем единичного шара в 2N мерном пространстве стремится к 0.

[ 30-12-02, Mon, 13:10:21 Отредактировано: Willy ]

Задачки об объемах

№ 21

Автор: dU
Дата : 30-12-02, Пнд, 07:37:52

Мда, таки две строчки. И симпатишные - интеграл Гаусса
А у меня какие-то хвосты получались, да и когда обломался и в книжку глянул, оказалось похоже (это где я "почти сам допер" ), да не то

__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...

Задачки об объемах

№ 22

Автор: Willy
Дата : 31-12-02, Втр, 03:04:39

Я помню еще пару красивых задачек по высшей математике, попроще чем задачка с объемом шара, но не знаю давать ли их ибо были возражения против такого рода задач. Публика заинтересована или нет?

Задачки об объемах

№ 23

Автор: Паша
Дата : 31-12-02, Втр, 04:10:50

Вилли, если приложишь все нужные формулы, выходящие за рамки школьной программы, то пожалуйста. И ещё, меня не покидает ощущение, что задача с объёмами родилась с хвоста. Кто-то крутил Гаусовский интеграл и заметил, что можно вычислить поверхность шара. Совершенно не понимаю, как человек, в поисках объёма, может догадаться искать площадь поверхности через Гаусовский интеграл. Поэтому предпочительны задачи, которые ты сам решил исходя из тех начальных, которые нам и предлагаешь. А то, если я сейчас начну поднимать занятные задачки из теории оптимизации или теории обобщённых функций, которые я делал в Технионе, не думаю, что это будет интересно. А тем более, если это будут задачки, решение которых было полученно с конца.

Задачки об объемах

№ 24

Автор: dU
Дата : 31-12-02, Втр, 04:46:57

Паша:
Ну я не додумался. А, пожалуй, должен был

- у меня прям щас два курса, где с подобными задачками сталкиваюсь. Правда в одном все сплошь коробки, а в другом непосредственно вычислять объем не нужно.

Willy:
Давай, давай - кому не особо нравится, не будет скрипеть мозгами.

__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...

Задачки об объемах

№ 25

Автор: Паша
Дата : 31-12-02, Втр, 07:16:47

ДеЮ, вот и я о том же. Одно дело, когда у тебя курс с подобными задачками, и совсем другое, когда сообразить надо...

Задачки об объемах

№ 26

Автор: Willy
Дата : 31-12-02, Втр, 09:17:48

Ну не надо, задачка об объеме n-мерного шара вовсе не специальная, а имеет общее значение, ну а Гауссовский интеграл штука столь употребительная, что я просто не думал, что с ним могут быть затруднения, извиняюсь если ошибся. Задачки чуть позже напишу, после Нового года.